Лемма Римана (необходимое условие сходимости ряда Фурье)

Если $f(x)$ интегрируема на $[-\pi,\pi],$ тогда $$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \to_{n \to \infty} 0$$ $$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \to_{n \to \infty} 0$$

$1)$ Пусть $f(x) = X_{[\alpha, \beta]} = \begin{cases} 1, & x \in [\alpha, \beta] \\ 1, & x \in [-\pi,\pi]/[\alpha,\beta] \end{cases}$ $\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} 1*\cos(nx) \, dx = \dfrac{\sin(nx)}{n} \Biggr|_{\alpha}^{\beta} = \dfrac{\sin(n\beta)-\sin(n\alpha)}{n} \to_{n \to \infty} 0$ $2)$ $f(x) = \varphi (x) = \begin{cases} c_{k}, & x \in (x_{k}, x_{k+1}) \\ d_{j}, & x = x_{j} \end{cases}$ $\tau~\mathpunct{:=}\{-\pi = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = \pi \}$ Скажем, что $\varphi (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} c_{k} X_{[x_{k}, x_{k+1}]}$ $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \cos(nx) \, dx = \sum_{k=0}^{n-1} c_{k} \int\limits_{-\pi}^{\pi} X_{[x_{k}, x_{k+1}]} \cos(nx) \, dx \to_{n \to \infty} 0$ $3)$ Если $f(x)~-$ интегрируема, то $\exists{\varphi (x)\mathpunct{:}~~}$ $\int\limits |f(x) - \varphi(x)| \, dx < \dfrac{\varepsilon}{2}~~~\forall{\varepsilon}~~$ (верх. или ниж. интегральная сумма) $$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx =$$ $$ \int\limits_{-\pi}^{\pi} (f(x) - \varphi(x)) \cos(nx) \, dx + \int\limits \varphi(x)\cos(nx) \, dx < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon~~\square$$